放牧代码和思想
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CS229编程7:K-means聚类与主成分分析

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ex.gif斯坦ex 2.gifcompress.png还原.pngface.png人脸主成分.png降维还原.png降维丑鸟.png福ML(Matlab)公开课,这次练习先实现K-means聚类算法并应用于图像压缩,然后实现PCA并用于人脸图像,最后展示高维数据的可视化技巧。我发现matlab做动画特别方便,顺手把算法执行过程动画化了。

K-means聚类

循序渐进,先在简单的2D数据上做实验:

data-scatter.png

先在上述2D数据集上熟悉K-means的原理,算法原理用matlab描述如下:

% Initialize centroids					
centroids = kMeansInitCentroids(X, K);

for iter = 1:iterations

						
    % Cluster assignment step: Assign each data point to the
    % closest centroid. idx(i) corresponds to cˆ(i), the index
    % of the centroid assigned to example i    
    idx = findClosestCentroids(X, centroids);

						
    % Move centroid step: Compute means based on centroid
    % assignments    
    centroids = computeMeans(X, idx, K);

						
end

先选取K个重心,然后迭代:

  1. 将每个数据点分配给最近的重心

  2. 分配导致重心变化,于是重新计算重心

K-means最终一定会收敛,但视初始化的重心不同,最终得到的聚类结果不一定是最优的。所以实践的时候一般初始化不同的重心,然后选择损失函数最小的聚类结果。

随机初始化

实践中,一种初始化策略是随机选取K个数据点作为质心:

function centroids = kMeansInitCentroids(X, K)
%KMEANSINITCENTROIDS This function initializes K centroids that are to be 
%used in K-Means on the dataset X
%   centroids = KMEANSINITCENTROIDS(X, K) returns K initial centroids to be
%   used with the K-Means on the dataset X
%
 
% You should return this values correctly
centroids = zeros(K, size(X, 2));
 
% ====================== YOUR CODE HERE ======================
% Instructions: You should set centroids to randomly chosen examples from
%               the dataset X
%
 
 
 
 
% Initialize the centroids to be random examples
% Randomly reorder the indices of examples
randidx = randperm(size(X, 1));
% Take the first K examples as centroids
centroids = X(randidx(1:K), :);
 
 
 
 
 
 
% =============================================================
 
end

寻找最近重心

对每个点,找到重心j使得

hankcs.com 2016-11-09 下午1.11.31.png

也就是欧氏距离最小。

其实现如下:

function idx = findClosestCentroids(X, centroids)
%FINDCLOSESTCENTROIDS computes the centroid memberships for every example
%   idx = FINDCLOSESTCENTROIDS (X, centroids) returns the closest centroids
%   in idx for a dataset X where each row is a single example. idx = m x 1 
%   vector of centroid assignments (i.e. each entry in range [1..K])
%
 
% Set K
K = size(centroids, 1);
 
% You need to return the following variables correctly.
idx = zeros(size(X,1), 1);
 
% ====================== YOUR CODE HERE ======================
% Instructions: Go over every example, find its closest centroid, and store
%               the index inside idx at the appropriate location.
%               Concretely, idx(i) should contain the index of the centroid
%               closest to example i. Hence, it should be a value in the 
%               range 1..K
%
% Note: You can use a for-loop over the examples to compute this.
%
for i = 1:size(X,1)
   means = 0;
   for k = 1:size(X,2)
        means = means + (X(i,k) - centroids(1,k))^2;
   end
   id = 1;
   for j = 2: K
       temp = 0;
       for k = 1:size(X,2)
            temp = temp + (X(i,k) - centroids(j,k))^2;
       end
       if temp <= means
           means = temp;
           id = j;
       end
   end
   idx(i) = id;
end
 
 
 
 
 
 
 
% =============================================================
 
end

上述代码可以应用于任意维度的数据,下面这段就是在计算任意维度空间两点间的欧氏距离,也许写成函数更好

   for k = 1:size(X,2)
        means = means + (X(i,k) - centroids(1,k))^2;
   end

调用方法如下:

%% ================= Part 1: Find Closest Centroids ====================
%  To help you implement K-Means, we have divided the learning algorithm 
%  into two functions -- findClosestCentroids and computeCentroids. In this
%  part, you shoudl complete the code in the findClosestCentroids function. 
%
fprintf('Finding closest centroids.\n\n');
 
% Load an example dataset that we will be using
load('ex7data2.mat');
 
% Select an initial set of centroids
K = 3; % 3 Centroids
initial_centroids = [3 3; 6 2; 8 5];
 
% Find the closest centroids for the examples using the
% initial_centroids
idx = findClosestCentroids(X, initial_centroids);
 
fprintf('Closest centroids for the first 3 examples: \n')
fprintf(' %d', idx(1:3));
fprintf('\n(the closest centroids should be 1, 3, 2 respectively)\n');
 
fprintf('Program paused. Press enter to continue.\n');
pause;

计算重心

第k个团的重心计算方法如下:

hankcs.com 2016-11-09 下午1.22.26.png

实现如下:

function centroids = computeCentroids(X, idx, K)
%COMPUTECENTROIDS returs the new centroids by computing the means of the 
%data points assigned to each centroid.
%   centroids = COMPUTECENTROIDS(X, idx, K) returns the new centroids by 
%   computing the means of the data points assigned to each centroid. It is
%   given a dataset X where each row is a single data point, a vector
%   idx of centroid assignments (i.e. each entry in range [1..K]) for each
%   example, and K, the number of centroids. You should return a matrix
%   centroids, where each row of centroids is the mean of the data points
%   assigned to it.
%
 
% Useful variables
[m n] = size(X);
 
% You need to return the following variables correctly.
centroids = zeros(K, n);
 
 
% ====================== YOUR CODE HERE ======================
% Instructions: Go over every centroid and compute mean of all points that
%               belong to it. Concretely, the row vector centroids(i, 🙂
%               should contain the mean of the data points assigned to
%               centroid i.
%
% Note: You can use a for-loop over the centroids to compute this.
%
 
 
for i = 1:K
    Ck = 0;
    for j = 1:m
        if idx(j) == i;
            Ck = Ck + 1;
            for k = 1:n
                centroids(i,k) = centroids(i,k) + X(j,k); 
            end 
        end
    end
    for k = 1:n
        centroids(i,k) = centroids(i,k) / Ck;
    end
end
 
 
 
 
 
 
 
 
% =============================================================
 
 
end

运行K-means

将这两个步骤结合起来,就得到了可运行的K-means:

function [centroids, idx] = runkMeans(X, initial_centroids, ...
                                      max_iters, plot_progress)
%RUNKMEANS runs the K-Means algorithm on data matrix X, where each row of X
%is a single example
%   [centroids, idx] = RUNKMEANS(X, initial_centroids, max_iters, ...
%   plot_progress) runs the K-Means algorithm on data matrix X, where each 
%   row of X is a single example. It uses initial_centroids used as the
%   initial centroids. max_iters specifies the total number of interactions 
%   of K-Means to execute. plot_progress is a true/false flag that 
%   indicates if the function should also plot its progress as the 
%   learning happens. This is set to false by default. runkMeans returns 
%   centroids, a Kxn matrix of the computed centroids and idx, a m x 1 
%   vector of centroid assignments (i.e. each entry in range [1..K])
%
 
% Set default value for plot progress
if ~exist('plot_progress', 'var') || isempty(plot_progress)
    plot_progress = false;
end
 
% Plot the data if we are plotting progress
if plot_progress
    figure;
    hold on;
end
 
% Initialize values
[m n] = size(X);
K = size(initial_centroids, 1);
centroids = initial_centroids;
previous_centroids = centroids;
idx = zeros(m, 1);
 
% Run K-Means
for i=1:max_iters
    
    % Output progress
    fprintf('K-Means iteration %d/%d...\n', i, max_iters);
    if exist('OCTAVE_VERSION')
        fflush(stdout);
    end
    
    % For each example in X, assign it to the closest centroid
    idx = findClosestCentroids(X, centroids);
    
    % Optionally, plot progress here
    if plot_progress
        plotProgresskMeans(X, centroids, previous_centroids, idx, K, i);
        previous_centroids = centroids;
        
        frame=getframe(gcf);
        im=frame2im(frame);
        [I,map]=rgb2ind(im,256);
        if i==1
            imwrite(I,map,'ex.gif','gif','Loopcount',Inf,'DelayTime',0.2);
        else
            imwrite(I,map,'ex.gif','gif','WriteMode','append','DelayTime',0.2);  
        end
    end
    
    % Given the memberships, compute new centroids
    centroids = computeCentroids(X, idx, K);
end
 
% Hold off if we are plotting progress
if plot_progress
    hold off;
end
 
end

其中,我加了一段输出gif的代码:

        frame=getframe(gcf);
        im=frame2im(frame);
        [I,map]=rgb2ind(im,256);
        if i==1
            imwrite(I,map,'ex.gif','gif','Loopcount',Inf,'DelayTime',0.2);
        else
            imwrite(I,map,'ex.gif','gif','WriteMode','append','DelayTime',0.2);  
        end

得到:

ex.gif

如果去掉getframe的参数gcf,则只捕捉图像部分:

ex 2.gif

想当初,输出gif的功能在Python里费了不少功夫,现在一两句话搞定,不得不说商业软件有商业软件的好处。

图像压缩

对于下面这张128*128的24位图片:

bird_small.png

这是一只丑陋的鸟,每个像素由8位RGB分量组成,共2^24种颜色。加载方法如下:

%% ============= Part 4: K-Means Clustering on Pixels ===============
%  In this exercise, you will use K-Means to compress an image. To do this,
%  you will first run K-Means on the colors of the pixels in the image and
%  then you will map each pixel on to it's closest centroid.
%  
%  You should now complete the code in kMeansInitCentroids.m
%
 
fprintf('\nRunning K-Means clustering on pixels from an image.\n\n');
 
%  Load an image of a bird
A = double(imread('bird_small.png'));
 
% If imread does not work for you, you can try instead
%   load ('bird_small.mat');
 
A = A / 255; % Divide by 255 so that all values are in the range 0 - 1
 
% Size of the image
img_size = size(A);
 
% Reshape the image into an Nx3 matrix where N = number of pixels.
% Each row will contain the Red, Green and Blue pixel values
% This gives us our dataset matrix X that we will use K-Means on.
X = reshape(A, img_size(1) * img_size(2), 3);

其中,imread得到X*Y*3的矩阵。

这次任务是将其压缩为4位,共16种颜色表示的图片。原理是利用K-means算法在RGB3维空间中找出这16种颜色——像素们的重心,并将每个像素点表示为其中一种,于是完成24->4的压缩。

调用代码

% Run your K-Means algorithm on this data
% You should try different values of K and max_iters here
K = 16; 
max_iters = 10;
 
% When using K-Means, it is important the initialize the centroids
% randomly. 
% You should complete the code in kMeansInitCentroids.m before proceeding
initial_centroids = kMeansInitCentroids(X, K);
 
% Run K-Means
[centroids, idx] = runkMeans(X, initial_centroids, max_iters);
 
fprintf('Program paused. Press enter to continue.\n');
pause;

idx就是每个像素点最近的重心的index,将像素点替换为重心就得到压缩后的图片:

%% ================= Part 5: Image Compression ======================
%  In this part of the exercise, you will use the clusters of K-Means to
%  compress an image. To do this, we first find the closest clusters for
%  each example. After that, we 
 
fprintf('\nApplying K-Means to compress an image.\n\n');
 
% Find closest cluster members
idx = findClosestCentroids(X, centroids);
 
% Essentially, now we have represented the image X as in terms of the
% indices in idx. 
 
% We can now recover the image from the indices (idx) by mapping each pixel
% (specified by it's index in idx) to the centroid value
X_recovered = centroids(idx,:);
 
% Reshape the recovered image into proper dimensions
X_recovered = reshape(X_recovered, img_size(1), img_size(2), 3);
 
% Display the original image 
subplot(1, 2, 1);
imagesc(A); 
title('Original');
 
% Display compressed image side by side
subplot(1, 2, 2);
imagesc(X_recovered)
title(sprintf('Compressed, with %d colors.', K));
 
 
fprintf('Program paused. Press enter to continue.\n');
pause;

其中,imagesc是Display image with scaled colors的缩写,默认使用colormap的全部色彩。

运行后得到:

compress.png

似乎变得更丑了。

主成分分析

这部分先利用一个简单的2D数据集熟悉熟悉PCA,然后应用到5000张人脸组成的数据集上。

简单数据集

将下面这个2D数据集降维到1维:

%% ================== Part 1: Load Example Dataset  ===================
%  We start this exercise by using a small dataset that is easily to
%  visualize
%
fprintf('Visualizing example dataset for PCA.\n\n');
 
%  The following command loads the dataset. You should now have the 
%  variable X in your environment
load ('ex7data1.mat');
 
%  Visualize the example dataset
plot(X(:, 1), X(:, 2), 'bo');
axis([0.5 6.5 2 8]); axis square;
 
fprintf('Program paused. Press enter to continue.\n');
pause;

得到:

simpledata.png

实现PCA

原理可以参考cs229的视频,或者《Python循序渐进主成分分析

大致分为两步

  1. 计算协方差矩阵

  2. 利用matlab的SVD方法得到特征向量和特征值

数据标准化

在执行PCA之前必须注意,要将数据标准化到均值=0,范围相同。实现如下:

function [X_norm, mu, sigma] = featureNormalize(X)
%FEATURENORMALIZE Normalizes the features in X 
%   FEATURENORMALIZE(X) returns a normalized version of X where
%   the mean value of each feature is 0 and the standard deviation
%   is 1. This is often a good preprocessing step to do when
%   working with learning algorithms.
 
mu = mean(X);
X_norm = bsxfun(@minus, X, mu);
 
sigma = std(X_norm);
X_norm = bsxfun(@rdivide, X_norm, sigma);
 
 
% ============================================================
 
end

跟前面几次练习一摸一样。

实现

第一步,计算协方差矩阵,也就是

hankcs.com 2016-11-09 下午6.20.56.png

这里X是按行排列的数据点构成的矩阵。

之后调用[U,S,V] = SVD(X),得到的U就是主成分矩阵,S矩阵对角线上就是相应特征向量对应的特征值。

实现如下:

function [U, S] = pca(X)
%PCA Run principal component analysis on the dataset X
%   [U, S, X] = pca(X) computes eigenvectors of the covariance matrix of X
%   Returns the eigenvectors U, the eigenvalues (on diagonal) in S
%
 
% Useful values
[m, n] = size(X);
 
% You need to return the following variables correctly.
U = zeros(n);
S = zeros(n);
 
% ====================== YOUR CODE HERE ======================
% Instructions: You should first compute the covariance matrix. Then, you
%               should use the "svd" function to compute the eigenvectors
%               and eigenvalues of the covariance matrix. 
%
% Note: When computing the covariance matrix, remember to divide by m (the
%       number of examples).
%
 
Sigma = X' * X / m;
[U, S, V] = svd(Sigma);
 
 
 
 
 
% =========================================================================
 
end

调用并可视化特征向量:

%% =============== Part 2: Principal Component Analysis ===============
%  You should now implement PCA, a dimension reduction technique. You
%  should complete the code in pca.m
%
fprintf('\nRunning PCA on example dataset.\n\n');
 
%  Before running PCA, it is important to first normalize X
[X_norm, mu, sigma] = featureNormalize(X);
 
%  Run PCA
[U, S] = pca(X_norm);
 
%  Compute mu, the mean of the each feature
 
%  Draw the eigenvectors centered at mean of data. These lines show the
%  directions of maximum variations in the dataset.
hold on;
drawLine(mu, mu + 1.5 * S(1,1) * U(:,1)', '-k', 'LineWidth', 2);
drawLine(mu, mu + 1.5 * S(2,2) * U(:,2)', '-k', 'LineWidth', 2);
hold off;
 
fprintf('Top eigenvector: \n');
fprintf(' U(:,1) = %f %f \n', U(1,1), U(2,1));
fprintf('\n(you should expect to see -0.707107 -0.707107)\n');
 
fprintf('Program paused. Press enter to continue.\n');
pause;

得到

特征向量.png

这个效果跟Python循序渐进主成分分析》相比真是弱爆了。

PCA降维

原向量乘以主成分矩阵前K列得到降维后的向量:

function Z = projectData(X, U, K)
%PROJECTDATA Computes the reduced data representation when projecting only 
%on to the top k eigenvectors
%   Z = projectData(X, U, K) computes the projection of 
%   the normalized inputs X into the reduced dimensional space spanned by
%   the first K columns of U. It returns the projected examples in Z.
%
 
% You need to return the following variables correctly.
Z = zeros(size(X, 1), K);
 
% ====================== YOUR CODE HERE ======================
% Instructions: Compute the projection of the data using only the top K 
%               eigenvectors in U (first K columns). 
%               For the i-th example X(i,:), the projection on to the k-th 
%               eigenvector is given as follows:
%                    x = X(i, :)';
%                    projection_k = x' * U(:, k);
%
 
x = X';
Z = x' * U(:, 1:K);
 
% =============================================================
 
end

调用方法

%% =================== Part 3: Dimension Reduction ===================
%  You should now implement the projection step to map the data onto the 
%  first k eigenvectors. The code will then plot the data in this reduced 
%  dimensional space.  This will show you what the data looks like when 
%  using only the corresponding eigenvectors to reconstruct it.
%
%  You should complete the code in projectData.m
%
fprintf('\nDimension reduction on example dataset.\n\n');
 
%  Plot the normalized dataset (returned from pca)
plot(X_norm(:, 1), X_norm(:, 2), 'bo');
axis([-4 3 -4 3]); axis square
 
%  Project the data onto K = 1 dimension
K = 1;
Z = projectData(X_norm, U, K);
fprintf('Projection of the first example: %f\n', Z(1));
fprintf('\n(this value should be about 1.481274)\n\n');

还原数据

既然有projectData,那么就可以利用转置矩阵将映射后的数据(一维)有损还原:

function X_rec = recoverData(Z, U, K)
%RECOVERDATA Recovers an approximation of the original data when using the 
%projected data
%   X_rec = RECOVERDATA(Z, U, K) recovers an approximation the 
%   original data that has been reduced to K dimensions. It returns the
%   approximate reconstruction in X_rec.
%
 
% You need to return the following variables correctly.
X_rec = zeros(size(Z, 1), size(U, 1));
 
% ====================== YOUR CODE HERE ======================
% Instructions: Compute the approximation of the data by projecting back
%               onto the original space using the top K eigenvectors in U.
%
%               For the i-th example Z(i,:), the (approximate)
%               recovered data for dimension j is given as follows:
%                    v = Z(i, :)';
%                    recovered_j = v' * U(j, 1:K)';
%
%               Notice that U(j, 1:K) is a row vector.
%               
 
v = Z';
X_rec = v' * U(:, 1:K)';
 
% =============================================================
 
end

这里的还原是有损的,毕竟少了一个维度。

调用并可视化

X_rec  = recoverData(Z, U, K);
fprintf('Approximation of the first example: %f %f\n', X_rec(1, 1), X_rec(1, 2));
fprintf('\n(this value should be about  -1.047419 -1.047419)\n\n');
 
%  Draw lines connecting the projected points to the original points
hold on;
plot(X_rec(:, 1), X_rec(:, 2), 'ro');
for i = 1:size(X_norm, 1)
    drawLine(X_norm(i,:), X_rec(i,:), '--k', 'LineWidth', 1);
end
hold off
 
fprintf('Program paused. Press enter to continue.\n');
pause;

得到

还原.png

红色是降维后的一维点,蓝色是还原到二维的点。这个图还是很直观的,将投影解释得很清楚。

人脸数据集

这部分将PCA应用于人脸数据集,可视化PCA之后与还原的效果。

每张数据都是32*32的灰度图,加载与可视化的代码与神经网络那次相同,最后得到:

face.png

主成分分析

每张图片都是1024维的向量,跟普通的数据点没什么两样,对其进行主成分:

%% =========== Part 5: PCA on Face Data: Eigenfaces  ===================
%  Run PCA and visualize the eigenvectors which are in this case eigenfaces
%  We display the first 36 eigenfaces.
%
fprintf(['\nRunning PCA on face dataset.\n' ...
         '(this mght take a minute or two ...)\n\n']);
 
%  Before running PCA, it is important to first normalize X by subtracting 
%  the mean value from each feature
[X_norm, mu, sigma] = featureNormalize(X);
 
%  Run PCA
[U, S] = pca(X_norm);
 
%  Visualize the top 36 eigenvectors found
displayData(U(:, 1:36)');
 
fprintf('Program paused. Press enter to continue.\n');
pause;

注意到特征向量跟原数据的维度一模一样,可以直接显示出来,于是这里可视化了前36个特征向量:

人脸主成分.png

降维与还原

取维度=100,像上次那样进行降维与还原:

%% ============= Part 6: Dimension Reduction for Faces =================
%  Project images to the eigen space using the top k eigenvectors 
%  If you are applying a machine learning algorithm 
fprintf('\nDimension reduction for face dataset.\n\n');
 
K = 100;
Z = projectData(X_norm, U, K);
 
fprintf('The projected data Z has a size of: ')
fprintf('%d ', size(Z));
 
fprintf('\n\nProgram paused. Press enter to continue.\n');
pause;
 
%% ==== Part 7: Visualization of Faces after PCA Dimension Reduction ====
%  Project images to the eigen space using the top K eigen vectors and 
%  visualize only using those K dimensions
%  Compare to the original input, which is also displayed
 
fprintf('\nVisualizing the projected (reduced dimension) faces.\n\n');
 
K = 100;
X_rec  = recoverData(Z, U, K);
 
% Display normalized data
subplot(1, 2, 1);
displayData(X_norm(1:100,:));
title('Original faces');
axis square;
 
% Display reconstructed data from only k eigenfaces
subplot(1, 2, 2);
displayData(X_rec(1:100,:));
title('Recovered faces');
axis square;
 
fprintf('Program paused. Press enter to continue.\n');
pause;

得到

降维还原.png

这里没办法可视化100维的图片,因为其不再是像素表示的,而是更抽象的低维表示,只能可视化还原后的数据。即便是还原,也是有损的,不过感觉效果还不错,大家颜值下降不大。

为了可视化进行的PCA

拿上次那只丑鸟做例子,如果将每个像素放到RGB三维空间中去:

%% === Part 8(a): Optional (ungraded) Exercise: PCA for Visualization ===
%  One useful application of PCA is to use it to visualize high-dimensional
%  data. In the last K-Means exercise you ran K-Means on 3-dimensional 
%  pixel colors of an image. We first visualize this output in 3D, and then
%  apply PCA to obtain a visualization in 2D.
 
close all; close all; clc
 
% Re-load the image from the previous exercise and run K-Means on it
% For this to work, you need to complete the K-Means assignment first
A = double(imread('bird_small.png'));
 
% If imread does not work for you, you can try instead
%   load ('bird_small.mat');
 
A = A / 255;
img_size = size(A);
X = reshape(A, img_size(1) * img_size(2), 3);
K = 16; 
max_iters = 10;
initial_centroids = kMeansInitCentroids(X, K);
[centroids, idx] = runkMeans(X, initial_centroids, max_iters);
 
%  Sample 1000 random indexes (since working with all the data is
%  too expensive. If you have a fast computer, you may increase this.
sel = floor(rand(1000, 1) * size(X, 1)) + 1;
 
%  Setup Color Palette
palette = hsv(K);
colors = palette(idx(sel), :);
 
%  Visualize the data and centroid memberships in 3D
figure;
scatter3(X(sel, 1), X(sel, 2), X(sel, 3), 10, colors);
title('Pixel dataset plotted in 3D. Color shows centroid memberships');
 
for i=1:2:360  
    %view(a,b):a????b????  
    view(i,20);  
    pause(0.06);
    frame=getframe(gcf);
    im=frame2im(frame);
    [I,map]=rgb2ind(im,256);
    if i==1
       imwrite(I,map,'ex.gif','gif','Loopcount',Inf,'DelayTime',0.2);
    else
       imwrite(I,map,'ex.gif','gif','WriteMode','append','DelayTime',0.2);  
    end
end  
 
fprintf('Program paused. Press enter to continue.\n');
pause;

我加了段动画,会得到:

高维的数据并不适合可视化,因为你无法在论文里贴一段动画:-D,所有就有先降维再可视化的需求。

PCA降维

将其视作普通数据降维即可:

%% === Part 8(b): Optional (ungraded) Exercise: PCA for Visualization ===
% Use PCA to project this cloud to 2D for visualization
 
% Subtract the mean to use PCA
[X_norm, mu, sigma] = featureNormalize(X);
 
% PCA and project the data to 2D
[U, S] = pca(X_norm);
Z = projectData(X_norm, U, 2);
 
% Plot in 2D
figure;
plotDataPoints(Z(sel, :), idx(sel), K);
title('Pixel dataset plotted in 2D, using PCA for dimensionality reduction');
fprintf('Program paused. Press enter to continue.\n');
pause;

得到

降维丑鸟.png

如果用鼠标旋转上面的三维视图,应该可以得到类似这张平面图的视图,这就是降维的直观解释了。

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评论 4

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  1. #4

    笑脸是 : )

    也是wo8个月前 (02-10)回复
  2. #3

    稍微简洁点

    也是wo8个月前 (02-10)回复
  3. #2

    findClosestCentroids.m 我的实现是:
    K = size(centroids, 1);
    idx = zeros(size(X,1), 1);
    [m, n] = size(X)
    for i = 1 : m
    X_tmp = ones(K, 1) * X(i, ;
    [val, idx(i, 1)]= min(sum((X_tmp – centroids).^2, 2), [], 1);
    end

    也是wo8个月前 (02-10)回复
  4. #1

    computeCentroids.m 我的实现是:
    [m n] = size(X);
    centroids = zeros(K, n);
    for i = 1 : K
    num = size(find(i == idx), 1);
    centroids(i, = sum(X(find(i == idx), , 1) ./ num;
    end

    也是wo8个月前 (02-10)回复

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