CS229编程5：正则化线性回归与偏差方差权衡

斯坦福ML（Matlab）公开课，本次练习将实现正则化线性回归、多项式回归，并且在不同的参数下拟合数据、绘制学习曲线。

正则化线性回归

利用水库水位预测流量。

可视化数据集

数据集被拆分为3部分：

• 训练集

• 交叉验证集，用来决定正则化参数

• 测试集

可视化代码没什么稀奇的部分：

%% =========== Part 1: Loading and Visualizing Data =============
%  We start the exercise by first loading and visualizing the dataset. 
%  The following code will load the dataset into your environment and plot
%  the data.
%
 
% Load Training Data
fprintf('Loading and Visualizing Data ...\n')
 
% Load from ex5data1: 
% You will have X, y, Xval, yval, Xtest, ytest in your environment
load ('ex5data1.mat');
 
% m = Number of examples
m = size(X, 1);
 
% Plot training data
plot(X, y, 'rx', 'MarkerSize', 10, 'LineWidth', 1.5);
xlabel('Change in water level (x)');
ylabel('Water flowing out of the dam (y)');
 
fprintf('Program paused. Press enter to continue.\n');
pause;

得到：

这是非线性的数据，可以预计线性回归不会得到多好的效果。

正则化损失函数和梯度

损失函数：

注意theta_0没有正则化项。

梯度

于是theta_0方向的梯度也是个例外。

跟逻辑斯谛回归的正则化损失函数很像，实现如下：

function [J, grad] = linearRegCostFunction(X, y, theta, lambda)
%LINEARREGCOSTFUNCTION Compute cost and gradient for regularized linear 
%regression with multiple variables
%   [J, grad] = LINEARREGCOSTFUNCTION(X, y, theta, lambda) computes the 
%   cost of using theta as the parameter for linear regression to fit the 
%   data points in X and y. Returns the cost in J and the gradient in grad
 
% Initialize some useful values
m = length(y); % number of training examples
 
% You need to return the following variables correctly 
J = 0;
grad = zeros(size(theta));
 
% ====================== YOUR CODE HERE ======================
% Instructions: Compute the cost and gradient of regularized linear 
%               regression for a particular choice of theta.
%
%               You should set J to the cost and grad to the gradient.
%
 
Z = (X * theta - y).^2;
J = sum(Z(:,1)) / (2 * m) + ...
    lambda / (2 * m) * (theta' * theta - theta(1)^2);
 
grad = 1 / m * X' * (X * theta - y) ...
    + lambda / m * theta;
grad(1) = grad(1) - lambda / m * theta(1);
 
 
 
 
 
 
 
 
% =========================================================================
 
grad = grad(:);
 
end

拟合线性回归

在如此低维的空间中，正则化项其实作用不大。将lambda设为0，利用无约束非线性规划函数fmincg最优化损失函数即可。

function [theta] = trainLinearReg(X, y, lambda)
%TRAINLINEARREG Trains linear regression given a dataset (X, y) and a
%regularization parameter lambda
%   [theta] = TRAINLINEARREG (X, y, lambda) trains linear regression using
%   the dataset (X, y) and regularization parameter lambda. Returns the
%   trained parameters theta.
%
 
% Initialize Theta
initial_theta = zeros(size(X, 2), 1); 
 
% Create "short hand" for the cost function to be minimized
costFunction = @(t) linearRegCostFunction(X, y, t, lambda);
 
% Now, costFunction is a function that takes in only one argument
options = optimset('MaxIter', 200, 'GradObj', 'on');
 
% Minimize using fmincg
theta = fmincg(costFunction, initial_theta, options);
 
end

上面创建了个costFunction函数句柄。调用方法：

%% =========== Part 4: Train Linear Regression =============
%  Once you have implemented the cost and gradient correctly, the
%  trainLinearReg function will use your cost function to train 
%  regularized linear regression.
% 
%  Write Up Note: The data is non-linear, so this will not give a great 
%                 fit.
%
 
%  Train linear regression with lambda = 0
lambda = 0;
[theta] = trainLinearReg([ones(m, 1) X], y, lambda);
 
%  Plot fit over the data
plot(X, y, 'rx', 'MarkerSize', 10, 'LineWidth', 1.5);
xlabel('Change in water level (x)');
ylabel('Water flowing out of the dam (y)');
hold on;
plot(X, [ones(m, 1) X]*theta, '--', 'LineWidth', 2)
hold off;
 
fprintf('Program paused. Press enter to continue.\n');
pause;

得到：

的确拟合得不怎么样。

方差偏差权衡

机器学习中一个重要的概念就是方差偏差权衡，高偏差的模型称作欠拟合，高方差的模型则为过拟合。这一章通过训练误差和测试误差来诊断模型的方差偏差问题。

学习曲线

这部分通过不同大小的训练集训练模型，在训练集和交叉验证集得到两者的误差，并将其绘制成学习曲线。

训练误差的定义为：

注意训练误差并不是损失函数，前者并没有正则化项，实现的时候可以将损失函数的lambda设为0即可。

实现如下：

function [error_train, error_val] = ...
    learningCurve(X, y, Xval, yval, lambda)
%LEARNINGCURVE Generates the train and cross validation set errors needed 
%to plot a learning curve
%   [error_train, error_val] = ...
%       LEARNINGCURVE(X, y, Xval, yval, lambda) returns the train and
%       cross validation set errors for a learning curve. In particular, 
%       it returns two vectors of the same length - error_train and 
%       error_val. Then, error_train(i) contains the training error for
%       i examples (and similarly for error_val(i)).
%
%   In this function, you will compute the train and test errors for
%   dataset sizes from 1 up to m. In practice, when working with larger
%   datasets, you might want to do this in larger intervals.
%
 
% Number of training examples
m = size(X, 1);
 
% You need to return these values correctly
error_train = zeros(m, 1);
error_val   = zeros(m, 1);
 
% ====================== YOUR CODE HERE ======================
% Instructions: Fill in this function to return training errors in 
%               error_train and the cross validation errors in error_val. 
%               i.e., error_train(i) and 
%               error_val(i) should give you the errors
%               obtained after training on i examples.
%
% Note: You should evaluate the training error on the first i training
%       examples (i.e., X(1:i, 🙂 and y(1:i)).
%
%       For the cross-validation error, you should instead evaluate on
%       the _entire_ cross validation set (Xval and yval).
%
% Note: If you are using your cost function (linearRegCostFunction)
%       to compute the training and cross validation error, you should 
%       call the function with the lambda argument set to 0. 
%       Do note that you will still need to use lambda when running
%       the training to obtain the theta parameters.
%
% Hint: You can loop over the examples with the following:
%
%       for i = 1:m
%           % Compute train/cross validation errors using training examples 
%           % X(1:i, 🙂 and y(1:i), storing the result in 
%           % error_train(i) and error_val(i)
%           ....
%           
%       end
%
 
% ---------------------- Sample Solution ----------------------
for i = 1:m
    [theta] = trainLinearReg(X(1:i, :), y(1:i), lambda);
    [error_train(i), grad] = linearRegCostFunction(X(1:i, :), y(1:i), theta, 0);
    [error_val(i), grad] = linearRegCostFunction(Xval, yval, theta, 0);
end
 
 
 
% -------------------------------------------------------------
 
% =========================================================================
 
end

很简单，调用方法如下：

%% =========== Part 5: Learning Curve for Linear Regression =============
%  Next, you should implement the learningCurve function. 
%
%  Write Up Note: Since the model is underfitting the data, we expect to
%                 see a graph with "high bias" -- slide 8 in ML-advice.pdf 
%
 
lambda = 0;
[error_train, error_val] = ...
    learningCurve([ones(m, 1) X], y, ...
                  [ones(size(Xval, 1), 1) Xval], yval, ...
                  lambda)
 
plot(1:m, error_train, 1:m, error_val);
title('Learning curve for linear regression')
legend('Train', 'Cross Validation')
xlabel('Number of training examples')
ylabel('Error')
axis([0 13 0 150])
 
fprintf('# Training Examples\tTrain Error\tCross Validation Error\n');
for i = 1:m
    fprintf('  \t%d\t\t%f\t%f\n', i, error_train(i), error_val(i));
end
 
fprintf('Program paused. Press enter to continue.\n');
pause;

得到

可以看出，随着训练集的增大，训练误差增大，交叉验证误差下降不明显，两者都很大。这被称为高偏差，即线性回归模型太简单，不足以拟合如此复杂的数据。下一节通过多项式回归拟合一个更好的模型。

多项式回归

多项式回归的假设函数为：

特征映射

这种取n次方的方法其实跟逻辑斯谛回归模型中mapfeature是一个意思：

function [X_poly] = polyFeatures(X, p)
%POLYFEATURES Maps X (1D vector) into the p-th power
%   [X_poly] = POLYFEATURES(X, p) takes a data matrix X (size m x 1) and
%   maps each example into its polynomial features where
%   X_poly(i, 🙂 = [X(i) X(i).^2 X(i).^3 ...  X(i).^p];
%
 
 
% You need to return the following variables correctly.
X_poly = zeros(numel(X), p);
 
% ====================== YOUR CODE HERE ======================
% Instructions: Given a vector X, return a matrix X_poly where the p-th 
%               column of X contains the values of X to the p-th power.
%
% 
 
for i = 1:p
    X_poly(:,i) = X .^i;
end
 
 
 
 
% =========================================================================
 
end

由于特征映射，其数量级变得差异巨大，所以需要先进行标准化：

function [X_norm, mu, sigma] = featureNormalize(X)
%FEATURENORMALIZE Normalizes the features in X 
%   FEATURENORMALIZE(X) returns a normalized version of X where
%   the mean value of each feature is 0 and the standard deviation
%   is 1. This is often a good preprocessing step to do when
%   working with learning algorithms.
 
mu = mean(X);
X_norm = bsxfun(@minus, X, mu);
 
sigma = std(X_norm);
X_norm = bsxfun(@rdivide, X_norm, sigma);
 
 
% ============================================================
 
end

bsxfun将两个数组作为参数调用某个指定的函数，上面将每个特征减去均值，除以标准差，于是整个数据集将标准化为均值=0，标准差=1。还记得在线性回归中，我们写了个傻乎乎的循环：

for i = 1 : features
  mu(i) = mean(X(:,i));
  sigma(i) = std(X(:,i));
  X_norm(:,i) = (X(:,i) - mu(i)) / sigma(i);
end

现在两句话搞定。

调用方法：

%% =========== Part 6: Feature Mapping for Polynomial Regression =============
%  One solution to this is to use polynomial regression. You should now
%  complete polyFeatures to map each example into its powers
%
 
p = 8;
 
% Map X onto Polynomial Features and Normalize
X_poly = polyFeatures(X, p);
[X_poly, mu, sigma] = featureNormalize(X_poly);  % Normalize
X_poly = [ones(m, 1), X_poly];                   % Add Ones
 
% Map X_poly_test and normalize (using mu and sigma)
X_poly_test = polyFeatures(Xtest, p);
X_poly_test = bsxfun(@minus, X_poly_test, mu);
X_poly_test = bsxfun(@rdivide, X_poly_test, sigma);
X_poly_test = [ones(size(X_poly_test, 1), 1), X_poly_test];         % Add Ones
 
% Map X_poly_val and normalize (using mu and sigma)
X_poly_val = polyFeatures(Xval, p);
X_poly_val = bsxfun(@minus, X_poly_val, mu);
X_poly_val = bsxfun(@rdivide, X_poly_val, sigma);
X_poly_val = [ones(size(X_poly_val, 1), 1), X_poly_val];           % Add Ones
 
fprintf('Normalized Training Example 1:\n');
fprintf('  %f  \n', X_poly(1, :));
 
fprintf('\nProgram paused. Press enter to continue.\n');
pause;

训练多项式回归

所谓多项式回归只不过是将参数映射到高维而已，其核心依然是线性回归，训练代码一模一样。如果我们不加正则化项：

%% =========== Part 7: Learning Curve for Polynomial Regression =============
%  Now, you will get to experiment with polynomial regression with multiple
%  values of lambda. The code below runs polynomial regression with 
%  lambda = 0. You should try running the code with different values of
%  lambda to see how the fit and learning curve change.
%
 
lambda = 0;%changed from 0 to 1;
[theta] = trainLinearReg(X_poly, y, lambda);
 
% Plot training data and fit
figure(1);
plot(X, y, 'rx', 'MarkerSize', 10, 'LineWidth', 1.5);
plotFit(min(X), max(X), mu, sigma, theta, p);
xlabel('Change in water level (x)');
ylabel('Water flowing out of the dam (y)');
title (sprintf('Polynomial Regression Fit (lambda = %f)', lambda));
 
figure(2);
[error_train, error_val] = ...
    learningCurve(X_poly, y, X_poly_val, yval, lambda);
plot(1:m, error_train, 1:m, error_val);
 
title(sprintf('Polynomial Regression Learning Curve (lambda = %f)', lambda));
xlabel('Number of training examples')
ylabel('Error')
axis([0 13 0 100])
legend('Train', 'Cross Validation')
 
fprintf('Polynomial Regression (lambda = %f)\n\n', lambda);
fprintf('# Training Examples\tTrain Error\tCross Validation Error\n');
for i = 1:m
    fprintf('  \t%d\t\t%f\t%f\n', i, error_train(i), error_val(i));
end
 
fprintf('Program paused. Press enter to continue.\n');
pause;

这里写了个可视化多项式回归的函数：

function plotFit(min_x, max_x, mu, sigma, theta, p)
%PLOTFIT Plots a learned polynomial regression fit over an existing figure.
%Also works with linear regression.
%   PLOTFIT(min_x, max_x, mu, sigma, theta, p) plots the learned polynomial
%   fit with power p and feature normalization (mu, sigma).
 
% Hold on to the current figure
hold on;
 
% We plot a range slightly bigger than the min and max values to get
% an idea of how the fit will vary outside the range of the data points
x = (min_x - 15: 0.05 : max_x + 25)';
 
% Map the X values 
X_poly = polyFeatures(x, p);
X_poly = bsxfun(@minus, X_poly, mu);
X_poly = bsxfun(@rdivide, X_poly, sigma);
 
% Add ones
X_poly = [ones(size(x, 1), 1) X_poly];
 
% Plot
plot(x, X_poly * theta, '--', 'LineWidth', 2)
 
% Hold off to the current figure
hold off
 
end

得到：

似乎不是个好模型，前面甚至打破物理定律出现负流量，后面有点像指数级增长，而非多项式了。

其学习曲线如下：

这幅图最大的不自然之处在于，训练误差很低接近0，而交叉验证误差较高，两者之间有较大鸿沟。

调整lambda

试试lambda=1：

似乎好一些。

自动调参

lambda到底该取多少呢？写个脚本自动化计算不同lambda下的误差吧：

function [lambda_vec, error_train, error_val] = ...
    validationCurve(X, y, Xval, yval)
%VALIDATIONCURVE Generate the train and validation errors needed to
%plot a validation curve that we can use to select lambda
%   [lambda_vec, error_train, error_val] = ...
%       VALIDATIONCURVE(X, y, Xval, yval) returns the train
%       and validation errors (in error_train, error_val)
%       for different values of lambda. You are given the training set (X,
%       y) and validation set (Xval, yval).
%
 
% Selected values of lambda (you should not change this)
lambda_vec = [0 0.001 0.003 0.01 0.03 0.1 0.3 1 3 10]';
 
% You need to return these variables correctly.
error_train = zeros(length(lambda_vec), 1);
error_val = zeros(length(lambda_vec), 1);
 
% ====================== YOUR CODE HERE ======================
% Instructions: Fill in this function to return training errors in 
%               error_train and the validation errors in error_val. The 
%               vector lambda_vec contains the different lambda parameters 
%               to use for each calculation of the errors, i.e, 
%               error_train(i), and error_val(i) should give 
%               you the errors obtained after training with 
%               lambda = lambda_vec(i)
%
% Note: You can loop over lambda_vec with the following:
%
%       for i = 1:length(lambda_vec)
%           lambda = lambda_vec(i);
%           % Compute train / val errors when training linear 
%           % regression with regularization parameter lambda
%           % You should store the result in error_train(i)
%           % and error_val(i)
%           ....
%           
%       end
%
%
 
for i = 1:length(lambda_vec)
    lambda = lambda_vec(i);
    [theta] = trainLinearReg(X, y, lambda);
    [error_train(i), grad] = linearRegCostFunction(X, y, theta, 0);
    [error_val(i), grad] = linearRegCostFunction(Xval, yval, theta, 0);
end
 
 
 
 
 
 
 
 
 
% =========================================================================
 
end

这段代码检查了下列lambda取值：

[0 0.001 0.003 0.01 0.03 0.1 0.3 1 3 10]

将误差与lambda的关系可视化出来：

%% =========== Part 8: Validation for Selecting Lambda =============
%  You will now implement validationCurve to test various values of 
%  lambda on a validation set. You will then use this to select the
%  "best" lambda value.
%
 
[lambda_vec, error_train, error_val] = ...
    validationCurve(X_poly, y, X_poly_val, yval);
 
close all;
plot(lambda_vec, error_train, lambda_vec, error_val);
legend('Train', 'Cross Validation');
xlabel('lambda');
ylabel('Error');
 
fprintf('lambda\t\tTrain Error\tValidation Error\n');
for i = 1:length(lambda_vec)
    fprintf(' %f\t%f\t%f\n', ...
            lambda_vec(i), error_train(i), error_val(i));
end
 
fprintf('Program paused. Press enter to continue.\n');
pause;

得到：

在lambda=3的时候验证集误差最小，是最理想的值。

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